문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학의 기본정리 (문단 편집) === [[리우빌의 정리]]를 이용한 증명 === 다음 증명은 [[리우빌의 정리]](Liouville's theorem)[* 프랑스의 수학자 조제프 리우빌(Joseph Liouville)의 이름을 땄다. 이 사람의 이름을 딴 정리가 등각사상(conformal mapping), 해밀턴 역학(Hamiltonian mechanics), 미분기하학(differential geometry) 등의 분야에 여럿 있다. 다만 리우빌의 정리의 실제 증명자는 리우빌이 아닌 [[오귀스탱루이 코시]]이다.]라는 복소해석학의 주요 정리를 이용한 증명으로, 증명 내용도 대학 학부 수준이고 복소해석학 자체를 수학과 외의 학과에서도 많이 쓰기 때문에 비교적 다른 학과들도 접하기 쉬운 증명이다. 리우빌의 정리는 사실 증명이 그렇게 어렵지 않지만, 정리의 증명에 필요한 재료가 상당히 많다. 자세한 내용은 복소해석학 책을 아무거나 구해서 보면 된다. 가장 간단하게 증명하는 방법은 코시 적분공식에서 유도되는 코시 부등식을 이용하는 것. 아래의 증명은 코시 적분공식에서 코시 부등식을 유도하는 과정을 생략했다. 생략된 유도 부분은 리우빌의 정리 항목에 정리되어 있다. 먼저 [[리우빌의 정리]]의 내용은 다음과 같다. ||복소평면 전체에서 미분가능한 함수(전해석함수) [math(f(z))]가 유계이면[* 즉, 어떤 양수 [math(M)]이 존재하여 모든 [math(z)]에 대해 [math(f(z))]의 절댓값이 [math(M)]보다 작다면] [math(f(z))]는 상수함수이다. || 이는 복소해석학에서도 가장 아름다운 공식으로 꼽히는데 이는 당연히 [math(f(z))]가 실수함수라면 성립하지 않는다.[* 예를 들어 실함수인 [math(f(x) = \sin x)]는 유계이지만 상수함수가 아니다. 참고로 복소삼각함수인 [math(f(z) = \sin z)]는 유계가 아니기 때문에 리우빌의 정리의 적용 대상이 아니다.] 쉽게 말해 복소함수가 전 복소평면에서 미분가능함에도 음이나 양의 무한대로 발산하지 않는다면 그러한 함수는 모조리 상수함수라는 소리이다.[* 참고로 이 정리에서 나온 보조 정리(Lemma)가 바로, 복소평면상의 함수 [math(f)]가 유계 개영역 [math(D)]에서 해석적이며 유계일 경우, 상수함수가 아니라면 그 최대값은 [math(D)]상에 존재하지 않고 개영역 [math(D)]의 경계인 [math(\partial (D)=Bd(D))]에 존재한다. 라는 최대 크기 원리(Maximum modulus principle)다.] 이제 [[리우빌의 정리]]를 이용해 대수학의 기본정리를 증명하고자 한다. 먼저 [math(p(z))]가 상수함수가 아닌 복소계수의 다항식이라 가정하자. 모순을 위해 [math(p(z))]가 복소평면에서 단 한 개의 근도 가지지 않는다고 가정하자. [math(p(z))]는 당연히 [math(0)]이 아닌 상수항을 가지는데, 그렇지 않으면 [math(0)]을 근으로 갖기 때문이다. [math(p(z))]는 다항함수이므로 전해석적이며, [math(p(z))]가 근을 가지지 않기에 [math(1/p(z))]또한 전해석함수이다. 만약 여기서 [math(p(z))]의 절댓값이 [math(0)]이 아닌 양수 [math(M)]보다 항상 크다는것을 보일 수 있다면 (즉 [math(\left|p(z)\right|)]의 하한이 [math(0)]보다 큰 양수) [math(\left|1/p(z)\right|)]가 [math(M^{-1})]보다 항상 작으므로 리우빌의 정리에 의해 [math(p(z))]가 상수함수임을 의미하며, 이는 모순이다. 따라서 [math(p(z))]는 적어도 하나의 근을 복소평면상에서 가져야 한다. (여기서 계속 [math(0)]이 아닌 양수보다 큼을 강조하는 이유는 [math(p(z))]가 그냥 [math(0)]보다 크다라고만 결론지으면 [math(z)]가 변함에 따라 [math(0)]에 무한히 근접할 수 있는 경우가 존재할 수 있으며, 이 경우 [math(1/p(z))]의 절댓값이 무한히 커지므로 리우빌의 정리를 사용할 수 없다.) 이제 [math(\left|p(z)\right|)]가 모든 [math(z)]에 대해 ([math(0)]보다 큰) 양수 [math(M)]보다 크거나 같음을 보이면 된다. 만약 [math(z)]가 매우매우 크다면 (좀더 엄밀히는 적절한 양수 [math(R)]가 존재하여, [math(\left|z\right|>R)]일 때,) [math(p(z))]의 크기는 [math(z^{n})]에 의해 지배되며, 이는 [math(z)]가 커지면 무한대로 발산하기에 [math(\left|1/p(z)\right|)]는 [math(\left|z\right|>R)]에 대해서 상한이 존재한다. 만약 [math(\left|z\right|리우빌의 정리를 기반으로 하는 대수학의 기본정리의 증명 || ||정리: 임의의 [math(n\left(n\geq 1\right))]차 다항함수에는 적어도 1개의 영점이 존재한다. 즉, [math(P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n \left(a_n\neq0\right))]일 때, 적어도 한개의 복소수 [math(z_0)]가 존재하여, [math(P(z_0)=0)]이 성립한다. || ||[math(\forall z \in C, P(z) \neq 0)]이라고 가정하자. 다항함수는 전해석함수이며, 모든 점에서 0이 아니라고 가정했으므로 [math(f(z)=\displaystyle \frac{1}{P(z)})]도 모든 점에서 정의되며 전해석함수이다. 이제, 이 함수가 유계임을 보이자. 먼저, [math(P(z))]를 다음과 같이 정의하자. [math(P(z)=\left(a_n + w\right)z^n)] 즉, [math(w:=\displaystyle \frac{a_0}{z^n}+\frac{a_1}{z^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{z})]로 정의하자. 이제 충분히 큰 양수 [math(R)]을 취하면, [math(\left|z\right|\geq R)]일 때, [[아르키메데스 성질]]을 통해 [math(w)]의 모든 항이 [math(\displaystyle \frac{\left|a_n\right|}{2n})]보다 작게 만들 수 있다. 이제, [math(w)]를 다시 써 보자. [math(w:=\displaystyle \frac{a_0}{z^n}+\frac{a_1}{z^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{z})]이므로, [math(\displaystyle \frac{a_k}{z^{n-k}}=b_k)]라고 두면, [math(\displaystyle w:=\sum_{k=0}^{n-1}b_k)]가 된다. 일반화된 삼각부등식에 의하여, [math(\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right|\leq\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|)]이므로, [math(\left|w\right|:=\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1}b_k\right|\leq\sum_{k=0}^{n-1}\left|b_k\right|<\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left|a_n\right|}{2n}=\frac{\left|a_n\right|}{2})]이 되어 [math(\left|w\right|<\displaystyle\frac{\left|a_n\right|}{2})]로 할 수 있다. [math(a_n)]은 임의의 복소수이므로 [math(\left|w\right|)]은 유계다. 따라서, [math(\left|z\right|>R)]일 때, 다음이 성립한다. [math(\left|a_n+w\right|\geq\left| \left|a_n\right|-\left|w\right|\right|>\displaystyle \frac{\left|a_n\right|}{2})] [math(P(z)=\left(a_n + w\right)z^n)]이므로, [math(\left|z\right|>R)]에서 다음이 성립함도 자명하다. [math(\left|P(z)\right|=\left|a_n+w\right|\left|z^n\right|>\displaystyle \frac{\left|a_n\right|}{2}\left|z^n\right|>\frac{\left|a_n\right|}{2}R^n)] 즉, [math(\left|z\right|>R)]일 때, [math(f(z)=\displaystyle \frac{1}{P(z)}<\frac{2}{\left|a_n\right|R^n})]가 되므로, [math(\left|z\right|\leq R)]인 원판의 외부에서 함수 [math(f)]는 유계이다. 그런데 [math(f)]는 복소평면 전역에서 전해석함수이므로 원판 [math(\left|z\right|\leq R)] 내부에서도 연속이 되어 유계함수가 되어야 한다. 즉, [math(f)]는 복소평면 전역에서 전해석함수이며 유계이므로, [math(f)]는 [[리우빌의 정리]]에 의하여 상수함수가 되어야 한다. 다시 말해서 [math(\displaystyle \frac{1}{f})] 역시 상수함수가 되어야 한다. 하지만, [math(P(z)=\displaystyle\frac{1}{f})]는 상수함수가 아닌 다항함수이므로 모순이 일어난다. 이는 [math(\forall z \in C, P(z) \neq 0)]로 가정한 전제가 틀렸음을 의미하고, 따라서 적어도 1개의 점에서 [math(P(z)=0)]이 성립하는 영점을 갖게 된다.([[Q.E.D.]]) ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기